皮克教你求面积
图01中的每个小正方形面积都是1，那么图中的三角形面积是多少?
经过观察，你会发现，传统的三角形面积公式(三角形面积=1/2×底×高)在这里已经不管用了，因为我们根本算不出这个三角形的边长，高的长度更难求出。那能否把这个三角形剪剪拼拼，割补成一个更规则的图形呢?多试几下，好像也是办不到的。种种失败似乎暗示着，这个三角形的面积并不那么好求，它恐怕是一个非常复杂的代数式吧。
其实，这个三角形的面积是一个非常简单的数——3.5。稍微换一个角度，你就会发现求这个三角形的面积有一个简单得你都不相信的算法。
如图02 整个三角形完全包含于一个面积为9的大正方形内，减去三角形A的面积3，减去直角三角形B的面积1.5，再减去直角三角形C的面积1，就得到了我们要求的三角形的面积，它就是3.5。
1899年，奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克发现，不只是三角形，对于平面上的任意一个多边形，只要它的每个顶点都在单位正方形网格的“格点”上，它的面积都有类似的巧算方法。皮克沿着这个思路进一步推导，得出一个超级简单的面积计算公式：令I等于多边形内部所含的格点数，令B等于多边形边界上的格点数，则多边形的面积就是I+B/2-1。这就叫作皮克定理。
算“格点多边形”的面积就是这么简单，不信的话，让我们来试试。
例如，图03中的第一个多边形，它的内部没有点，边界上有4个点，因此面积就是0+4/2-1=1；第二个多边形的形状虽然不一样，但内部也没有点，边界也经过了4个点，因此面积也是0+4/2-1=1；第三个图形的边界上也有4个点，但内部包含了一个点，因此其面积就是1+4/2-1=2。
再回头看看图01中的那个三角形，面积就是3+3/2-1，也就是3.5了。需要注意的是，皮克定理只适用于所有顶点都在格点上的多边形，其他情况是不能套用皮克定理的。
皮克定理有很多有趣的推论。例如，由皮克定理立即可知，格点多边形的面积一定是1/2的整数倍。而这又可以推出，等边三角形的三个顶点不可能都在格点上，也就是说你永远不可能找出三个格点，它们恰好组成一个等边三角形。
另一个有趣的推论是，在一个mxn的点阵中画一条经过所有点恰好一次的回路，得到的多边形面积一定是相同的。
荣莉爽/编辑 摘自《天天爱学习》(5年级数学)2024.1-2
